海南大学硕士研究生入学考试

《619-数学分析》考试大纲

一、考试性质

海南大学硕士研究生入学考试初试科目。

二、考试时间

180分钟。

三、考试方式与分值

闭卷、笔试。满分150分。

四、考试内容

第一章  实数集与函数

邻域、有界集，确界概念、确界原理，基本初等函数与初等函数，函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性。

第二章  数列极限

数列极限的定义与几何意义，收敛、发散数列与无穷小数列，收敛数列性质，单调有界定理，柯西收敛准则，收敛与发散数列的证明，数列极限的求法，重要极限：

第三章  函数极限

函数极限（含数列极限及无穷大）的定义，归结原则及柯西准则，两个重要极限及函数极限的求法，等价无穷小与高阶无穷小。

第四章  函数的连续性 

函数在一点连续与左、右连续概念，间断点及分类，函数在区间上一致连续的概念，闭区间上连续函数的介值性定理，初等函数的连续性及在求极限中应用。

第五章  导数和微分

导数的概念与几何意义，求导法则、公式及各种求导法，函数极值与费马定理，微分概念与性质，可导、可微与连续的关系。

第六章  微分中值定理及其应用

函数单调性与凹凸性的判定，重点利用中值定理以及导数证明不等式与恆等式，不定式极限求法，函数的极值与最值的求法及应用。

第七章  实数的完备性

了解区间套、点集聚点与开覆盖的概念与性质，实数完备性，七个基本定理（考试不做要求）

第八章  不定积分

原函数与不定积分的概念，利用换元积分法与分部积分法求不定积分，常用的简单的有理函数、三角函数与某些无理根式的不定积分。

第九章  定积分

定积分的概念、几何意义与主要性质，三类可积函数，变限积分的概念、性质以及应用，微积分学基本定理与牛顿—莱布尼茨公式，定积分的计算，换元积分法的应用。

第十章  定积分的应用

利用定积分求平面图像的面积、求立体体积以及求平面曲线弧长，微元法。

第十一章  反常积分

无穷积分敛散性的概念，几个常用的无穷积分的敛散性，无穷积分的比较判别法与柯西判别法。

第十二章  数项级数

级数敛散性概念，常见级数的敛散性，正项级数敛散的比较判别法、比式与根式判别法，p级数的敛散性，交错级数与莱布尼茨判别法。

第十三章  函数列与函数项级数

函数列与函数项级数一致收敛性的概念，函数项级数一致收敛的M判别法，一致收敛的函数列的极限函数与函数项级数的和函数的连续性、可积性与可导性。

第十四章  幂级数

幂级数的收敛半径与收敛域的求法，幂级数的主要性质，利用逐项积分与逐项求导求某些幂级数的和函数，几个重要函数的幂级数展开式，将函数展开成幂级数的方法。

第十五章  傅里叶级数

函数在区间上展开成傅里叶级数与在上展开成正、余弦级数及其收敛情况，并利用级数的展开式求某些级数的和。

第十六章  多元函数的极限与连续

邻域与区域的概念，二元函数的定义域，二元函数的极限求法，二元函数极限存在性的证明，重极限与累次极限的关系。

第十七章  多元函数微分学

二元函数的可微性、全微分概念，一阶全微分形式不变性，二元函数的偏导数及高阶偏导数的概念及求法，方向导数的概念与求法，梯度的概念及意义，二元函数的极值与判定，曲面的切平面与法线。

第十八章  隐函数定理及应用

隐函数、隐函数组、反函数组的存在条件与求（偏）导法，雅可比行列式，平面曲线的切线与法线，曲面的切平面与法线，重点用拉格朗日乘数法解条件极值问题。

第十九章  含参量积分

含参量正常积分的概念与性质，累次积分概念，含参量反常积分的一致收敛性概念与M判别法，欧拉积分的概念、主要性质以及简单应用。

第二十章  曲线积分

第一型曲线积分概念、性质与计算，第二型曲线积分概念、性质与计算。

第二十一章  重积分

二重积分的几何意义，直角坐标系下二重积分的计算，二重积分的变量变换（主要为线性变换，（广义）极坐标变换），格林公式，曲线积分与路线无关性，全微分式及其原函数，三重积分化为累次积分计算，三重积分換元法（主要为：线性变换，（广义）柱面变换，（广义）球坐标变换）。

第二十二章  曲面积分

第一型曲面积分、第二型曲面积分的概念、性质以及计算，重点是高斯公式与斯托克斯公式。