陕西师范大学硕士研究生招生考试“826-高等代数”考试大纲

本《高等代数》考试大纲适用于陕西师范大学数学学科各专业硕士研究生招生考试.高等代数是大学数学系本科学生基础课程之一，也是大多数理工科专业学生的必修基础课.它的主要内容包括多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、矩阵，欧氏空间等.要求考生熟悉这门课程中的基本概念、熟练掌握基本理论、有较强的运算能力以及综合分析问题和解决问题的能力.

一、考试的基本要求

要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法.要求考生具有对高等代数这门课程的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力.

二、考试方法和考试时间

高等代数考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟.

三、考试内容

（一）多项式

1．数域及其性质.

2．一元多项式及其运算.

3．带余除法；整除定义.

4．最大公因式；辗转相除法；互素.

5．不可约多项式的定义和基本性质；因式分解定理.

6．k-重因式；重因式的判别和求法.

7．多项式函数与根；多项式函数的有关性质.

8．代数基本定理；复数域上多项式的因式分解；实数域上多项式的因式分解.

9．本原多项式；Gauss引理.

10.在整数集上的多项式的分解问题；艾森施坦因判别法；有理数域上多项式的有

理根.

（二）行列式

1．排列及其性质.

2．级行列式定义.

3．行列式的性质.

4．行列式的计算方法.

5．行列式的一行（列）展开.

6．非齐次与齐次线性方程组；克兰姆法则及有关定理.

7．k级子式；k级子式的代数余子式；拉普拉斯(Laplace)定理；行列式乘法法则.

（三）线性方程组

1．高斯消元法；消元法的矩阵表示；齐次线性方程组.

2．n维向量空间.

3．线性相关；线性无关；向量组的秩.

4．矩阵的秩；矩阵的秩的有关结论；矩阵秩的计算.

5．线性方程组有解的判定定理.

6．齐次线性方程组解的结构；一般线性方程组解的结构.

（四）矩阵

1．矩阵的运算.

2．矩阵乘积的行列式；非退化矩阵；矩阵乘积的秩.

3．可逆矩阵的判定及求法；逆矩阵的运算规律.

4．分块矩阵的运算.

5．初等矩阵；等价矩阵；用初等变换求矩阵的逆.

6．矩阵分块乘法的初等变换.

（五）二次型

1．二次型的矩阵表示；非退化线性替换；矩阵的合同.

2．二次型的标准形；配方法.

3．复数域上的二次型的规范形；实数域上的二次型的规范形.

4．正定二次型及其判定.

（六）线性空间

1．线性空间及其性质.

2．维数；基与坐标.

3．过渡矩阵及其性质；坐标变换公式.

4．线性子空间及其判定；生成空间及其性质；基的扩充定理.

5．子空间的交；子空间的和；维数公式；子空间的交与和的有关性质.

6．直和及其判定；子空间的补；多个子空间的直和.

（七）线性变换

1．线性变换的简单性质；有关例子.

2．线性变换的运算；线性变换的逆；线性变换的多项式.

3．线性变换的矩阵；原向量与像向量坐标之间关系.

4．特征值与特征向量；特征子空间；特征多项式

5．线性变换可对角化的概念；可对角化的条件；可对角化的一般方法.

6．值域与核的有关性质.

7．不变子空间；线性空间的直和分解.

8．最小多项式的基本性质；几类矩阵的最小多项式.

（八）-矩阵

1．λ－矩阵及其性质；λ－矩阵的秩；可逆λ－矩阵.

2．λ－矩阵的初等变换；λ－矩阵的等价；标准形及其求法.

3．行列式因子；不变因子及其求法.

4．矩阵相似的条件；矩阵相似的几个判定方法.

5．初等因子与不变因子的区别与联系；初等因子的求法.

6．若当块的初等因子；若当形矩阵的初等因子.

（九）欧几里得空间

1．内积；欧氏空间；内积的基本性质；向量的夹角；度量矩阵及其性质.

2．正交向量组；标准正交基及其性质；标准正交基的求法；正交矩阵.

3．欧氏空间的同构；同构的基本性质；同构的判定方法.

4．正交变换及其刻画；正交变换的性质；正交变换的分类.

5．正交子空间及其性质；正交补.

6．实对称矩阵及其性质；实对称矩阵正交对角化.

四、掌握重点

（一）多项式的整除理论.

（二）最大公因式；辗转相除法；互素.

（三）一般数域上多项式的因式分解理论.

（四）多项式函数.

（五）复数域、实数域以及有理数域上多项式的因式分解.

（六）行列式定义及计算.

（七）矩阵的运算及其理论.

（八）可逆矩阵及其应用.

（九）分块矩阵运算及其应用.

（十）矩阵的秩及其应用.

（十一）初等矩阵的概念及其性质.

（十二）二次型的标准形理论.

（十三）正定二次型及其应用.

（十四）线性空间的概念及性质.

（十五）子空间的概念及性质.

（十六）子空间的运算及其性质.

（十七）线性变换及其运算.

（十八）线性变换的特征值理论及应用.

（十九）线性变换的不变子空间及其应用.

（二十）矩阵Jordan标准形的计算及其应用.

（二十一）欧氏空间的概念及其性质.

（二十二）正交变换及其性质.

（二十三）对称变换及其性质.

（二十四）实对称矩阵及其性质.

五、参考书目

[1]北京大学数学系前代数小组编.高等代数（第四版），高等教育出版社，2013.

[2]李志慧，李永明.高等代数中的典型问题与方法（第二版），科学出版社，2016.

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